Notes
書いた記事やノートをまとめて公開しています。
圏の理論シリーズ
圏論のノート群です。これらのノートは定期的に更新していきます。
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Kan拡張に関する個人的なノート。未完成なので、適当に更新します。
- 2021/07/25: v1公開 (10 pages)
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モデル圏の理論を解説します。
- 2021/05/29: v1公開 (40 pages)
- 2021/11/27: v2公開 (55 pages)
- 2023/01/27: v3公開 (65 pages)
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ファイバー圏とスタックの理論を解説します。
- 2022/01/03: v1公開 (61 pages)
以降、いろいろ計画中…
記事一覧
単発の記事です。
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Proarrow equipment（副射装備）は形式圏論を展開するための枠組みの一つです。ここで形式圏論とは、通常の圏論を形式化・統合化することを目指す2-圏論の一分野です。2-圏に対してその上のproarrow equipmentの構造が与えられると、随伴・同値に加えて（余）極限、Cauchy完備性、各点Kan拡張などといった通常の圏論における様々な概念やそれらの相互作用を抽象的に議論できるようになります。本ノートでは、Woodにより導入されたproarrow equipmentの理論を解説します。
- 2024/11/30: v1公開 (21 pages)
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Grothendieck圏は、Gabriel-Popescuの定理の成立によってGrothendieckトポスの加法版(Ab-豊穣版)と見なすことができます。本稿では、Ab-豊穣圏上でのGrothendieck位相を定義し、その例としてZ-algebra上のtail topologyを紹介します。特に射影スキームProj(S)上の準連接層のなす圏Qcoh(Proj(S))が、SをZ-algebraと見なしたときのtail topologyに関する加法的層の圏として得られることを確認します。
- 圏論 Advent Calendar 2022, 15日目の記事
- 2022/12/30:公開 (15 pages)
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加群の複体の圏に入るモデル圏構造について解説します。
- Math Advent Calendar 2021, 6日目の記事
- 2021/12/06:公開 (16 pages)
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任意のGrothendieck圏は、ある加群圏の"良い"部分圏として実現できることが知られています。すなわち任意のGrothendieck圏は、加群圏の反映的充満部分圏(すなわち包含関手が左随伴を持つ部分圏)であって、さらに包含関手の左随伴が完全関手となるような部分圏になります(Gabriel-Popescuの定理)。本稿ではこの定理を証明します。
- 2021/02/15:公開 (10 pages)
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コンパクト生成三角圏T上の反変関手F:T^op→Abに対して、これがコホモロジー的であって余積を積にうつすとき、Fは表現可能であることが知られています。これはBrownの表現定理として知られていて、本稿ではこの定理を証明します。
- Math Advent Calendar 2020, 19日目の記事
- 2020/12/19:公開 (12 pages)
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圏の生成子(generator)の定義をいくつか見かけるので、一つにまとめました。
- 2020/10/19:公開 (10 pages)
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可換環に対してその素スペクトラムを対応させることで位相空間が得られます。このような位相空間は特にspectral空間になりなすが、実はこの逆が成り立ち、すべてのspectral空間はある可換環の素スペクトラムとして表せます。Hochsterは、spectral空間XからSpec(H)=Xとなるような環Hを具体的に構成してみせました。本稿ではこの構成法に関する結果を解説します。
- Math Advent Calender 2019, 21日目の記事
- 2019/12/21:公開 (47 pages)
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Stone双対性といえば、ブール代数とストーン空間の間のものがよく知られていますが、実はより広く(有界な)分配束に対しても双対性は存在します。分配束に対応する位相空間はspectral空間と呼ばれます。spectral空間の定義と諸性質を述べた後、分配束の圏とspectral空間の圏との間に双対性が成り立つことを紹介します。これはspectral空間論のノートを兼ねます。
- Math Advent Calender 2019, 7日目の記事
- 2019/12/07:公開 (32 pages)
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一般の圏では、対象から元を取ることはできませんが、ある特定の射を一般化された”元”と思うことができます。この一般化元の考え方を、図式の可換性を記述するのに応用することを考えます。そのあとで、似たような考え方であるfunctor of pointsとの関連を考察して実際に使ってみます。
- C96(2019/8/12)頒布 “B.PROJECT vol.2” の記事
- 2019/12/01:公開 (10 pages)
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Stoneの表現定理の証明と観察。ふつうはブール代数に関するものを指してStoneの表現定理と呼びますが、ブール代数はブール環と等価な概念なので、ブール環を用いても表現できます。備忘録のため、その両方の形式を独立に読めるように証明しました。
- 2019/02/20:公開 (19 pages)
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HartshorneによるSpecAの構造層はよくわからないので、(個人的に)自然な方法で構成を与えたのち、それがHartshorneでの定義と一致することを紹介します。
- 2019/02/09:公開 (14 pages)
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代数幾何学において扱う空間概念は、Grothendieckによって古典的な代数多様体からスキームと呼ばれる局所環付き空間に取って代わりました。微分幾何学においては未だ可微分多様体が中心的な空間概念ですが、可微分多様体もまた可微分写像の層とあわせることで局所環付き空間とみなせます。特に可微分多様体の圏はR-局所環付き空間の圏に埋め込めることがわかります。
- C95(2018/12/31)頒布 “B.PROJECT vol.1” の記事
- 2019/12/01:公開 (6 pages)
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pointless topologyとは、その名の通り”点のない”位相空間論のことです。通常、位相空間とは集合と開集合系の組のことですが、空間の情報として大切なのは台集合それ自身ではなくその開集合系であることは明らかでしょう。このことから開集合系だけで位相空間論を展開できないかということが考えられます。この発想のもと、開集合系の持つ性質を抽象化して得られた代数(frameあるいはlocale)を、ある種の”位相空間”と見なして位相空間論を行うのがpointless topologyという分野です。
- S2S春セミナー2018で発表した「Pointless Topology概説」の講義ノート
- 2018/08/29:公開 (13 pages)
- C95(2018/12/31)頒布 “B.PROJECT vol.1” にver.2を掲載
- 2019/12/01: ver.2 (誤植を修正)を公開 (13 pages)
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ある空間の性質を調べるのに、その上の関数たちを調べることはしばしばあります。コンパクトHausdorff空間Xの場合、Xはその連続関数環C(X)から完全に復元されることが知られています。
- 2018/06/30:公開 (5 pages)
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ネーター位相空間の二つの直積はまたネーター空間となることを、ネットによる特徴づけを用いて証明します。
- 2017年度幾何演義Ⅱの問題27の解説
- 2018/01/10:公開 (8 pages)
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命題論理のコンパクト性定理って何がコンパクトなの？って話です。
- 京大談話会2017春で発表した「論理と位相」の講義ノート
- 2017/08:公開
- 2018/01/24:加筆修正 (19 pages)
- 文字を大きくしました。命題論理のLindenbaum代数がブール代数になることのちゃんとした証明を書き足した。終わりに一言を追加しました。
誤植表製作プロジェクト
- 第1弾公開しました：2016/自主ゼミ/松島多様体
- 第2弾公開しました：『数理物理と数理情報の基礎』誤植表 (2018/11)
- 第3弾公開しました：『圏論の技法』誤植表 (2019/09/15)